[學業] [代數] 矩陣的 cos值 = =

作者: moussorgsky (快樂的愛樂人) 看板: LordAmen
標題: [學業] [代數] 矩陣的 cos值 = =
時間: Sun Jan 27 00:42:50 2008

 作者  algebra1029 (代數)                                          看板  Math 
 標題  Re: [代數] 矩陣的 cos值 = =                                            
 時間  Sat Jan 26 17:59:03 2008                                               
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※ 引述《CMJ0121 (請多指教!!)》之銘言:
: 我寫某年考古題的時候, 遇到了這樣的題目
: 給一個矩陣 A with 3*3
: 求 cos(A)的值
: 我看到這題, 是讓我聯想到 e^A的作法啦
: 但是我想問問看哪位大大能夠給我個明確的作法= =


   好吧,如果那兩個性質你都在書上看過
   而且也真的明暸他們的意思





 (1)  所以我假設你知道:
     「任意n階方陣的任意次多項函數,
       都可以用該方陣的n-1次多項式表示(或更小)」
       (為什麼?)


      所以假設你會算矩陣 A 的任意多項函數(polynomial function)
      如 A^10003212455
      當然是在短時間之內算出來

      (Hint:
       假設 A 是2階方陣: A^10003212455 = a*I2 + b*A    I2 是單位矩  a,b怎麼求?
       假設 A 是3階方陣: A^10003212455 = a*I3 + b*A + cA^2   a,b,c怎麼求?
      )
      怎麼求?查書!!!

(2)   好吧,其實 A^10003212455,就算不知道 Hint 裡的快速算法
      沒辦法在短時間內算出來,
      但你看到這個式子,至少知道「怎麼算」,花個十天也算出來了吧
      因為你看得懂這個式子,要「怎麼算」
      就像A^10 就乘十次吧
      因為矩陣的加減乘跟冪次你都學過,都知道意思跟計算的方法


(3)   再來看 cos(A),exp(A)或 sin(A), tan(A)… 甚至 arccos(A),…
      這些函數比較麻煩,他們這種函數是用「英文」表示的(cos是三個英文字)
      看到這三個英文字,不知道已知的加減乘跟冪次 要怎麼用上去
      (我們也只知道矩陣的這幾種運算吧)


      他們不是多項函數,不是那種一看就知道怎麼算的函數
      他們是超越函數,他們不能用有限項的多項式表示
      但他們其實可以用無限項的多項式表示,如下
      (純量函數,x為純量scalar)

      cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - …
      exp(x) = .....

      (也就是 maclaurin series)

      這下好了,右邊是多項函數,用四則運算定義的
      可以算,所以我們可以用右邊的式子來定義矩陣的這些函數

      cos(A) = In - A^2/2! + A^4/4!
      exp(A) = .....

(4)   用右邊的式子,加上矩陣的運算定義
      cos(A)或tan(A)或… 就可以算出來了
      可是有無限多項,算不完怎麼辦?
      沒關係
      用上面 (1)
      一下就算出來了

(5)  不知道有沒有回答你的問題,因為 知道 e^A 怎麼算,且不知道 cos(A) 怎麼算
     有點特別

(6)  其實還有第二種算法,就是用對角化來算:

     (a) 若 A = PDP^-1  其中 D 為對角矩陣或 Jordan form

     (b) 可得  A^n = (PDP^-1)(PDP^-1)..... (PDP^-1)(PDP^-1)  共n項
                   = PD^nP^-1

         也就是 A^n = (P)(D^n)(P^-1)

         (上面的証明,簡單但重要)

     (c) 由 (b) 可推得,對任意多項函數 f(x),可得

         f(A) = Pf(D)P^-1

     (d) 所以

         cos(A) = Pcos(D)P^-1
         exp(A) = Pexp(D)P^-1
          ............


     (e) 若 D 為 對角矩陣,f(D)很好求,因為 對角矩陣的任意次方 還是對角矩陣
         若 D 為 Jordan form,較不好求,但還是有規律,只是這種情形,通當用
         上面提到的 minimal polynomial 的方法作

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