作者: moussorgsky (快樂的愛樂人) 看板: LordAmen 標題: [學業] [代數] 矩陣的 cos值 = = 時間: Sun Jan 27 00:42:50 2008 作者 algebra1029 (代數) 看板 Math 標題 Re: [代數] 矩陣的 cos值 = = 時間 Sat Jan 26 17:59:03 2008 ─────────────────────────────────────── ※ 引述《CMJ0121 (請多指教!!)》之銘言: : 我寫某年考古題的時候, 遇到了這樣的題目 : 給一個矩陣 A with 3*3 : 求 cos(A)的值 : 我看到這題, 是讓我聯想到 e^A的作法啦 : 但是我想問問看哪位大大能夠給我個明確的作法= = 好吧,如果那兩個性質你都在書上看過 而且也真的明暸他們的意思 (1) 所以我假設你知道: 「任意n階方陣的任意次多項函數, 都可以用該方陣的n-1次多項式表示(或更小)」 (為什麼?) 所以假設你會算矩陣 A 的任意多項函數(polynomial function) 如 A^10003212455 當然是在短時間之內算出來 (Hint: 假設 A 是2階方陣: A^10003212455 = a*I2 + b*A I2 是單位矩 a,b怎麼求? 假設 A 是3階方陣: A^10003212455 = a*I3 + b*A + cA^2 a,b,c怎麼求? ) 怎麼求?查書!!! (2) 好吧,其實 A^10003212455,就算不知道 Hint 裡的快速算法 沒辦法在短時間內算出來, 但你看到這個式子,至少知道「怎麼算」,花個十天也算出來了吧 因為你看得懂這個式子,要「怎麼算」 就像A^10 就乘十次吧 因為矩陣的加減乘跟冪次你都學過,都知道意思跟計算的方法 (3) 再來看 cos(A),exp(A)或 sin(A), tan(A)… 甚至 arccos(A),… 這些函數比較麻煩,他們這種函數是用「英文」表示的(cos是三個英文字) 看到這三個英文字,不知道已知的加減乘跟冪次 要怎麼用上去 (我們也只知道矩陣的這幾種運算吧) 他們不是多項函數,不是那種一看就知道怎麼算的函數 他們是超越函數,他們不能用有限項的多項式表示 但他們其實可以用無限項的多項式表示,如下 (純量函數,x為純量scalar) cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - … exp(x) = ..... (也就是 maclaurin series) 這下好了,右邊是多項函數,用四則運算定義的 可以算,所以我們可以用右邊的式子來定義矩陣的這些函數 cos(A) = In - A^2/2! + A^4/4! exp(A) = ..... (4) 用右邊的式子,加上矩陣的運算定義 cos(A)或tan(A)或… 就可以算出來了 可是有無限多項,算不完怎麼辦? 沒關係 用上面 (1) 一下就算出來了 (5) 不知道有沒有回答你的問題,因為 知道 e^A 怎麼算,且不知道 cos(A) 怎麼算 有點特別 (6) 其實還有第二種算法,就是用對角化來算: (a) 若 A = PDP^-1 其中 D 為對角矩陣或 Jordan form (b) 可得 A^n = (PDP^-1)(PDP^-1)..... (PDP^-1)(PDP^-1) 共n項 = PD^nP^-1 也就是 A^n = (P)(D^n)(P^-1) (上面的証明,簡單但重要) (c) 由 (b) 可推得,對任意多項函數 f(x),可得 f(A) = Pf(D)P^-1 (d) 所以 cos(A) = Pcos(D)P^-1 exp(A) = Pexp(D)P^-1 ............ (e) 若 D 為 對角矩陣,f(D)很好求,因為 對角矩陣的任意次方 還是對角矩陣 若 D 為 Jordan form,較不好求,但還是有規律,只是這種情形,通當用 上面提到的 minimal polynomial 的方法作 -- ※ 發信站: 批踢踢兔(ptt2.cc) ◆ From: 140.112.5.34 |